Formation d’une Image par une Lentille Mince

Introduction

Les lentilles sont des éléments essentiels dans la plupart des instruments d’optique, tels que les lunettes, les appareils photo et les microscopes. Ce chapitre se concentre sur la modélisation et la compréhension de la formation des images par des lentilles minces, en particulier les lentilles convergentes, et leur application dans divers contextes optiques, y compris le modèle de l’œil humain.

A. Les Lentilles et Leur Modélisation

Une lentille est une pièce solide et transparente, limitée par des surfaces sphériques ou une surface plane et une surface sphérique. Selon leur forme, les lentilles peuvent être classées en deux catégories principales :

• Lentilles convergentes (à bord mince) : Elles focalisent les rayons lumineux parallèles qui les traversent en un point unique.
• Lentilles divergentes (à bord épais) : Elles dispersent les rayons lumineux parallèles.

La modélisation des lentilles minces est essentielle pour comprendre comment elles forment des images. Une lentille mince est représentée schématiquement par une ligne droite avec une flèche indiquant son orientation.

B. Éléments Principaux d’une Lentille Mince Convergente

1. Centre Optique (O) : Le centre d’une lentille mince. Les rayons passant par ce point ne sont pas déviés.
2. Foyer Image (F’) : Point où convergent les rayons parallèles à l’axe principal après avoir traversé la lentille.
3. Foyer Objet (F) : Point symétrique de F’ par rapport au centre optique O. C’est le point où les rayons, en venant, deviennent parallèles après avoir traversé la lentille.
4. Distance Focale (f’) : Distance entre le centre optique et le foyer image, mesurée en mètres (m).

Formule de la lentille mince (formule de conjugaison):

$$ \frac{1}{f’} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{OA’} + \frac{1}{-OA} $$

Où :

• f’ : Distance focale
• d_i : Distance entre l’image et la lentille, égale à OA’
• d_o : Distance entre l’objet et la lentille égale à -OA
• OA et OA’ en valeur algébrique

C. Objets et Images

Point Objet et Point Image : Un point objet A émet des rayons lumineux qui, après avoir traversé la lentille, convergent en un point image A’. A et A’ sont dits conjugués.

Objet Réel et Image Réelle : Un objet réel est constitué de plusieurs points objets, dont les images forment l’image de l’objet étendu. Pour simplifier, on considère des objets plans perpendiculaires à l’axe principal.

D. Rayons Principaux Utiles pour Trouver l’Image d’un Point-Objet

• Rayon passant par le centre optique (O) : Il n’est pas dévié.
• Rayon issu du foyer objet (F) : Il émerge parallèlement à l’axe principal après avoir traversé la lentille.
• Rayon parallèle à l’axe principal : Il émerge en passant par le foyer image (F’).

E. Le Grandissement

Le grandissement (\( \gamma \)) est une grandeur sans unité définie par la relation mathématique :

$$ \gamma = \frac{A’B’}{AB} = \frac{d_i}{d_o} $$

Où :

• A’B’ : Taille de l’image en valeur algébrique
• AB : Taille de l’objet en valeur algébrique
• d_i : Distance entre l’image et la lentille, égale à OA’
• d_o : Distance entre l’objet et la lentille égale à -OA
• OA et OA’ en valeur algébrique

Si \(\gamma > 1\), l’image est plus grande que l’objet.

Si \(\gamma < 1\), l’image est plus petite que l’objet.

F. Modèle de l’Œil

L’œil humain peut être modélisé comme un système optique composé de trois éléments principaux :

• Le Diaphragme (la pupille) : Régule la quantité de lumière entrant dans l’œil.
• La Lentille (le cristallin) : Focalise la lumière pour former une image nette sur la rétine.
• L’Écran (la rétine) : Capte l’image formée et envoie les signaux au cerveau pour interprétation.

Exemples Corrigés

Exemple 1 : Détermination de la Distance Focale

Énoncé : Utilisez une lentille convergente pour focaliser la lumière du soleil sur une feuille de papier. Mesurez la distance entre la lentille et le point focal pour déterminer la distance focale.

Solution : Si la distance mesurée entre la lentille et le point focal est de 10 cm, alors la distance focale \( f’ = 10 \) cm.

Exemple 2 : Traçage de Rayons

Énoncé : Tracez les rayons principaux pour un objet placé à 15 cm devant une lentille convergente de distance focale 5 cm et déterminez la position et la taille de l’image.

Solution : Utilisez la formule de la lentille mince :

$$ \frac{1}{f’} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} $$

$$ \frac{1}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{d_i} $$

$$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{5} – \frac{1}{15} = \frac{3 – 1}{15} = \frac{2}{15} $$

$$ d_i = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm} \text{ (image réelle et inversée)} $$

Exemple 3 : Calcul de Grandissement

Énoncé : Un objet de 2 cm est placé à 10 cm d’une lentille convergente de distance focale 5 cm. Calculez la taille de l’image et déterminez si l’image est agrandie ou réduite.

Solution : Utilisez la formule de la lentille mince :

$$ \frac{1}{f’} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} $$

$$ \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{d_i} $$

$$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{5} – \frac{1}{10} = \frac{2 – 1}{10} = \frac{1}{10} $$

$$ d_i = 10 \text{ cm (image réelle et inversée)} $$

Le grandissement :

$$ \gamma = \frac{d_i}{d_o} = \frac{10}{10} = 1 $$